Category: 고등개념

역함수가 존재하는 어떤 함수와 그 역함수의 교점은 항상 y=x에 있는가?

결론부터 이야기하면 그렇지 않다.

만약 함수가 증가함수라면 그 역함수와의 교점은 항상 y=x에 존재한다.
>>증명: 귀류법을 사용하면 쉽게 증명할 수 있다.
y=f(x)와 그 역함수 y=g(x)에 대하여 두 그래프의 교점을 (a,b)라고 할 때,
f(a)>b 또는 f(a)<b라고 가정하면 모순이 생긴다.

하지만 주어진 함수가 감소함수일 경우 예를 들어 y=-x는 그 역함수도 y=-x이며 두 함수의 그래프는 서로 일치하게 된다. 결국 y=x 이외의 많은 곳에서 서로 만나게 된다.
>>첨언 : y=f(x)와 그 역함수 y=g(x)의 교점(a,b)가 y=x 에 존재하지 않는다고 가정할 때, f(a)=g(a)=b가 된다.
f(a)=b와 g(a)=b 를 각각 g(x)와 f(x)에 대입하면 g(f(a))=g(b), f(g(a))=f(b) 이 된다.
즉, g(b)=a, f(b)=a 이다.
정리하면 두 역함수의 교점이 (a,b)이면 (b,a)도 교점이 됨을 알 수 있다.